log2 8 = 3
Bo 2³ = 8. Potrzebujesz trzech czynników równych 2.
LICEUM I TECHNIKUM · INTERAKTYWNY PRZEWODNIK
Wielkie liczby.
Małe kroki.
Logarytmy.
Od pytania „do której potęgi?” do pomiaru dźwięku i projektowania elektroniki. Zobacz, co kryje się za symbolem log.
TA SAMA ZMIANA SKALI● INTERAKTYWNIE
Mnożysz przez 10.
Przesuwasz się o 1.
Krzywa poglądowa · dokładny wykres w laboratorium
1×10 →10×10 →100×10 →1000
0+1 →1+1 →2+1 →3
Porusz punktem na skali ↗JEDNA IDEA, WIELE ZASTOSOWAŃPotęgi ↔ logarytmyElektronikaAkustykaRozpad promieniotwórczy
01 / PODSTAWY
Logarytm to odpowiedź
na pytanie o wykładnik.
Najpierw znaczenie. Potem wzory. Podstawowy materiał szkolny uzupełniają wyraźnie oznaczone rozszerzenia.
DEFINICJA
loga x = y ⇔ ay = x
Logarytm liczby x przy podstawie a to wykładnik y, do którego trzeba podnieść a, aby otrzymać x.
log2 ¼ = −2
Bo 2⁻² = ¼. Dodatni argument może dać ujemny logarytm.
log9 3 = ½
Bo 9½ = √9 = 3. Wynik nie musi być całkowity.
Trzy przydatne podstawy
log x = log10 x — logarytm dziesiętny. W tym materiale skrót „log” zawsze oznacza podstawę 10.
ln x = loge x — logarytm naturalny, e ≈ 2,71828. Przydatny w modelach wzrostu i zaniku; tutaj jako rozszerzenie zastosowań.
log2 x — logarytm binarny, używany m.in. w informatyce.
Tożsamości, które warto znać
loga 1 = 0; loga a = 1
loga (at) = t
alogₐ x = x
Przy a > 0, a ≠ 1, t ∈ ℝ i x > 0. Potęgowanie i logarytmowanie o tej samej podstawie są operacjami odwrotnymi.
Twój podręczny zestaw reguł
Dla a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0, r ∈ ℝ. Przy zmianie podstawy dodatkowo b > 0 i b ≠ 1.
| Operacja | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| Iloczyn | loga(xy) = logax + logay | log₂(8 · 4) = 3 + 2 = 5 |
| Iloraz | loga(x/y) = logax − logay | log₃(81/3) = 4 − 1 = 3 |
| Potęga | loga(xr) = r logax | log₂(8²) = 2 · 3 = 6 |
| Pierwiastek | loga(ⁿ√x) = (1/n) logax | log₂(√16) = ½ · 4 = 2; n ≥ 2 całkowite |
| Zmiana podstawy | logax = logbx / logba | log₂8 = ln 8 / ln 2 = 3 |
| Zamiana podstawy i argumentu | logab = 1 / logba | log₂8 = 1 / log₈2 = 3 |
Skąd bierze się wzór na logarytm iloczynu?
Niech u = logax i v = logay. Wtedy x = au i y = av. Z praw działań na potęgach: xy = auav = au+v. Zatem loga(xy) = u + v. Podobnie dzielenie potęg odejmuje wykładniki, a potęgowanie mnoży wykładniki.
Uważaj na sumę i dziedzinę!
loga(x + y) na ogół nie jest równy logax + logay. Dla x = 2, y = 4: log₂6 ≈ 2,585, podczas gdy log₂2 + log₂4 = 3.
Nie istnieją rzeczywiste logarytmy z zera i liczb ujemnych. Wzór loga(x²) = 2 logax wymaga x > 0; dla x ≠ 0 poprawnie: loga(x²) = 2 loga|x|.
02 / LABORATORIUM
Przesuń. Odtwórz.
Zobacz zależność.
W logarytmach mnożenie i dzielenie liczb oznacza dodawanie i odejmowanie ich wykładników. Prześledź to krok po kroku.
OD LICZB DO WYKŁADNIKÓW
RÓWNE ODLEGŁOŚCI, RÓWNE ILORAZY
Skala, która mieści więcej
Na osi logarytmicznej 1 → 10 zajmuje tyle samo miejsca co 10 → 100. Położenie jest proporcjonalne do logarytmu liczby.
FUNKCJA LOGARYTMICZNA · ROZSZERZENIE
Co zmienia podstawa?
Dziedzina: (0, +∞). Zbiór wartości: ℝ. Miejsce zerowe: x = 1. Asymptota pionowa: x = 0. Wykres jest odbiciem y = aˣ względem prostej y = x.
Najpierw dziedzina
log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3
- Warunki: x − 1 > 0 i x + 1 > 0, czyli x > 1.
- Połącz: log₂((x − 1)(x + 1)) = 3.
- Przejdź do potęgi: x² − 1 = 2³ = 8.
- x² = 9, więc x = −3 lub x = 3.
- Z dziedziną zgadza się tylko x = 3.
Kierunek zależy od podstawy
Dla a > 1 funkcja rośnie, więc logax > logay ⇔ x > y. Dla 0 < a < 1 funkcja maleje i znak między argumentami odwracamy. Zakładamy x, y > 0.
log½(x − 1) ≥ −1
Dziedzina: x > 1. Ponieważ −1 = log½2 i funkcja maleje, x − 1 ≤ 2. Po połączeniu warunków: x ∈ (1, 3].
Znak logarytmu: dla a > 1 jest dodatni przy x > 1 i ujemny przy 0 < x < 1. Dla 0 < a < 1 jest odwrotnie.
03 / INŻYNIERIA
Język dużych zakresów.
Gdy sygnały zmieniają się milion razy, logarytmy zamieniają ogromny zakres na czytelną skalę.
Elektronika i telekomunikacja
Wzmocnienie mocy opisuje G = 10 log(Pwy/Pwe) dB. Dwa kolejne stopnie o wzmocnieniach mocy 10 i 100 dają razem 1000, czyli 10 dB + 20 dB = 30 dB.
Wzmocnienia w dB dodajemy, ponieważ logarytm iloczynu jest sumą logarytmów. Straty w torze odejmujemy.
10 log(10 · 100) = 10 + 20 = 30
Dla stosunku napięć: GU = 20 log(Uwy/Uwe) dB. Jako przeliczenie wzmocnienia mocy wzór ten wymaga jednakowych rezystancji (lub odpowiednich impedancji). Czynnik 20 bierze się z P = U²/R.
Charakterystyki częstotliwościowe
Na osi logarytmicznej częstotliwości dekady 10–100 Hz i 100–1000 Hz mają tę samą szerokość. Inżynier może oglądać wiele rzędów wielkości na jednym wykresie.
Spadek −20 dB/dekadę oznacza, że po dziesięciokrotnym wzroście częstotliwości poziom maleje o 20 dB. Dla wzmocnienia napięciowego odpowiada to dziesięciokrotnemu spadkowi stosunku amplitud.
Algorytmy i wyszukiwanie
Każde porównanie w wyszukiwaniu binarnym zmniejsza obszar poszukiwań mniej więcej o połowę. Po k podziałach rozmiar wynosi około N/2ᵏ.
Dla N = 1024 = 2¹⁰ wystarczy 10 podziałów do pojedynczego elementu. Zależnie od implementacji trzeba jeszcze sprawdzić ten element. To przykład złożoności O(log₂ N), a nie ścisła liczba porównań każdej implementacji.
04 / FIZYKA — ODDZIELNE LABORATORIUM
Zmierz to,
co zmienia się wykładniczo.
Logarytm pozwala porównywać natężenia i wyznaczać czas w modelach zaniku. Argumentem logarytmu w tych wzorach jest bezwymiarowy stosunek.
Dziesięć razy więcej energii.
O 10 dB wyższy poziom.
L = 10 log(I/I₀) dB
I — natężenie dźwięku w W/m², I₀ = 10⁻¹² W/m² — standardowa wartość odniesienia. To poziom natężenia dźwięku; nie jest tym samym co subiektywna głośność.
Dlaczego dwa źródła nie dają sumy decybeli?
Sumujemy natężenia. Dwa niezależne źródła po 60 dB każde, dające w punkcie pomiaru jednakowe natężenia, tworzą łącznie 10 log(2 · 10⁶) ≈ 63,01 dB, a nie 120 dB. Założenie: źródła nieskorelowane, bez stałych efektów interferencji. Różnica poziomów wynosi ΔL = 10 log(I₂/I₁).
EKSPERYMENT / CZY EKRAN TŁUMI DŹWIĘK?
Co chcemy ustalić?
Sprawdzamy, ile razy ekran ustawiony między źródłem a odbiornikiem zmniejsza natężenie dźwięku w konkretnym punkcie. Wynik pozwala porównać dwa materiały przy tej samej częstotliwości. To pomiar tłumienia w danym układzie, nie pełna ocena izolacyjności ściany.
Jak wygląda doświadczenie?
- Ustaw głośnik emitujący stały ton, np. 1000 Hz, oraz miernik poziomu dźwięku w ustalonych miejscach. Nie zmieniaj ustawienia głośnika ani jego głośności.
- Zmierz tło, a następnie poziom tonu bez ekranu. Wstaw ekran i powtórz pomiar. Zrób kilka odczytów w obu konfiguracjach.
- Porównuj pomiary przy tych samych ustawieniach miernika, najlepiej bez korekcji częstotliwościowej (Z). Jeśli tło jest bliskie sygnałowi, trzeba je uwzględnić; nie wolno po prostu odejmować decybeli tła od wyniku.
Przykładowy wynik i sens logarytmu
Załóżmy odczyty 60 dB bez ekranu i 50 dB z ekranem, przy pomijalnym tle. Różnica to −10 dB. Ze wzoru ΔL = 10 log(I₂/I₁) dostajemy:
I₂/I₁ = 10−10/10 = 0,1
W punkcie pomiaru natężenie spadło dziesięciokrotnie. Logarytm pozwala przejść od różnicy poziomów do ilorazu natężeń. Nie oznacza to automatycznie dziesięciokrotnie mniejszej odczuwanej głośności.
Co rzeczywiście mierzy mikrofon?
Typowy miernik mierzy poziom ciśnienia akustycznego Lp = 20 log(prms/p₀), gdzie p₀ = 20 µPa. Amplituda opisuje maksymalne wychylenie; prms jest wartością skuteczną zmiennego ciśnienia. Dla sinusoidy prms = pmax/√2. W przybliżeniu fali biegnącej w tym samym ośrodku I ∝ prms², dlatego różnica poziomów ciśnienia odpowiada różnicy poziomów natężenia. Silne odbicia i fale stojące ograniczają to przybliżenie; telefon bez kalibracji daje tylko orientacyjny wynik.
Odczyty 60 i 50 dB są przykładem obliczeniowym, a nie wynikiem wykonanego pomiaru.
Ile czasu do pozostania
jednej ósmej próbki?
N(t) = N₀ · 2−t/T
T — okres półtrwania, N₀ — początkowa liczba jąder. Model opisuje oczekiwaną liczbę jąder w dużej próbce. Dla udziału f = N/N₀:
log₂ f = −t/T
t = −T log₂ f = −T ln f / ln 2
t = −T log₂ f = −T ln f / ln 2
Jeśli T = 8 dni i f = ⅛, to t = −8 · (−3) = 24 dni. Kropki pokazują modelowy udział pozostałych jąder, nie symulację losowych rozpadów.
EKSPERYMENT / WYZNACZAMY OKRES PÓŁTRWANIA
Co chcemy ustalić?
Chcemy oszacować okres półtrwania izotopu i przewidzieć, kiedy jego aktywność spadnie do wybranej części wartości początkowej. Nie liczymy bezpośrednio wszystkich jąder: obserwujemy tempo zliczeń detektora.
Jak wygląda doświadczenie?
- W pracowni wyposażonej w odpowiednią aparaturę rejestruje się zliczenia promieniowania w równych odstępach czasu, zachowując położenie próbki i detektora. W zadaniu szkolnym można analizować gotowe dane, bez pracy ze źródłem.
- Oddzielnie mierzy się tło. Od tempa zliczeń ze źródłem odejmuje się tempo zliczeń tła. Przy niezmiennej sprawności detektora skorygowane tempo jest proporcjonalne do aktywności A = λN.
- Porównuje się ilorazy skorygowanych odczytów. Dla jednego izotopu aktywność i liczba nierozpadłych jąder maleją z tym samym okresem półtrwania.
| Czas [dni] | Pomiar [zliczeń/min] | Po odjęciu tła |
|---|---|---|
| 0 | 820 | 800 |
| 8 | 420 | 400 |
| 16 | 220 | 200 |
| 24 | 120 | 100 |
Gdzie wykorzystujemy logarytm?
Po 16 dniach udział aktywności wynosi f = 200/800 = ¼. Z log₂f = −t/T wyznaczamy T = −16/log₂(¼) = 8 dni. Następnie przewidujemy czas do ⅛: t = −8 log₂(⅛) = 24 dni.
Wykres ln(A/A₀) względem czasu powinien być w tym modelu linią prostą. Jej nachylenie wynosi −λ, a T = ln 2/λ. Logarytm ułatwia więc również sprawdzenie modelu.
Tabela ilustruje idealny model jednego izotopu. Rzeczywiste zliczenia losowo się wahają; małe liczby zliczeń, zmienne tło i zmiana geometrii wpływają na niepewność wyniku.
MODELOWANIE / LOGARYTM NATURALNY
Stygnięcie i wyznaczanie czasu
W uproszczonym modelu Newtona różnica temperatur ΔT(t) = ΔT₀e−kt. Po podzieleniu przez ΔT₀ i zlogarytmowaniu: t = −ln(ΔT/ΔT₀)/k.
Przy k = 0,1 min⁻¹ spadek różnicy temperatur z 60°C do 20°C trwa −ln(⅓)/0,1 ≈ 10,99 min.
To różnice względem stałej temperatury otoczenia. Model zakłada m.in. stały współczynnik k i pomijalne gradienty temperatury wewnątrz ciała; nie opisuje każdego procesu chłodzenia.
EKSPERYMENT / KIEDY WODA OSIĄGNIE 40°C?
Cel i przebieg
Chcemy przewidzieć czas chłodzenia, zamiast czekać na całą serię pomiarów. Potrzebne są naczynie z gorącą wodą, termometr i stoper. Zmierz temperaturę pomieszczenia, zanurz czujnik w wodzie i zapisuj jej temperaturę np. co minutę. Zachowaj to samo naczynie, objętość i warunki otoczenia; woda powinna mieć możliwie równomierną temperaturę.
Przykładowe dane modelowe: otoczenie ma 20°C, woda na początku 80°C, po 5 minutach około 56,4°C, a po 10 minutach około 42,1°C. Nie są to odczyty z rzeczywistego doświadczenia.
Od odczytów do prognozy
Liczymy nadwyżkę temperatury ponad otoczenie: początkowo ΔT₀ = 80 − 20 = 60°C, a po 5 minutach ΔT ≈ 36,4°C. Logarytm „wydobywa” czas z wykładnika:
k = −ln(36,4/60)/5 ≈ 0,1 min⁻¹
Gdy woda osiągnie 40°C, jej nadwyżka wyniesie 20°C. Stąd t = −ln(20/60)/0,1 ≈ 10,99 min od początku. Wynik można porównać z kolejnym pomiarem.
Wykres ln(ΔT/ΔT₀) względem czasu powinien być w przybliżeniu prostą o nachyleniu −k. Jeśli wyraźnie się wygina, stały współczynnik k nie opisuje dobrze doświadczenia. W modelu temperatura zbliża się do temperatury otoczenia asymptotycznie; nie osiąga jej dokładnie w skończonym czasie.
05 / TWÓJ RUCH
Sprawdź, czy już czujesz skalę.
Podaj wynik, a potem odkryj rozumowanie. Możesz używać przecinka, kropki i prostych ułamków, np. −1/2. Wyniki fizyczne podawaj bez jednostek, zaokrąglone do dwóch miejsc.
Postęp jest zapamiętywany tylko w tej przeglądarce, jeśli pozwala ona na zapis lokalny.
06 / GRA EDUKACYJNA
Stacja LOG.
Uratuj sygnał.
Łączność zerwana. Zbuduj tor sygnału, przetestuj moduły i przywróć połączenie ze stacją. Obserwuj jednocześnie liczby i ich logarytmy.
◈ STACJA LOG SYSTEM ŁĄCZNOŚCI
SYGNAŁ DOCELOWY
Kliknij moduł, aby dodać go do toru, lub przeciągnij go na wolne miejsce. Każdego modułu można użyć raz. Strzałkami zmienisz kolejność, a × usunie element. Wszystkie misje są dostępne od początku.
↗NADAJNIK
◎ODBIORNIK—
WARTOŚĆ SYGNAŁU1
Skala liniowa: od 0 do wartości docelowej. Wskaźnik zatrzymuje się na końcu, gdy sygnał przekracza cel.
LOGARYTM0
Wybierz moduły i uruchom test.
Eksperymentuj bez limitu prób.
To model edukacyjny: sygnał jest dodatnią liczbą bez jednostki. Potęgowanie i pierwiastkowanie są operacjami matematycznymi, a nie modelami zwykłego wzmacniacza. Postęp zapisuje się tylko w tej przeglądarce.
DALEJ W TEMAT
Sięgnij do źródeł.
Materiał autorski i przykłady dydaktyczne na poziomie szkoły średniej; części oznaczone jako rozszerzenie wykraczają poza podstawowe rachunki na logarytmach.